Stanley-Reisner-Ideal/Primideal zu Seite/Aufgabe

Es sei ${}I_{\Delta }\subseteq K[X_{v},\,v\in V]$ das Stanley-Reisner-Ideal zu einem simplizialen Komplex ${}\Delta$ und sei ${}S$ eine Seite von ${}\Delta$. Zeige

${}I_{\Delta }\subseteq (X_{v},\,v\notin S)=:{\mathfrak {p}}_{S}\,.$

Zeige ferner, dass ${}{\mathfrak {p}}_{S}$ ein Primideal im Polynomring ist und dass es keine Primideale zwischen ${}I_{\Delta }$ und ${}{\mathfrak {p}}_{S}$ für Facetten ${}S$ gibt.

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