Stanley-Reisner-Ring/Multiplizität/Aufgabe

Es sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/I_{\Delta }$ ein Stanley-Reisner-Ring der Dimension ${}d$ (d.h. die maximale Elementanzahl in einer Facette von ${}\Delta$ sei ${}d$) und ${}{\mathfrak {m}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})$ das homogene maximale Ideal davon. Vergleiche die Größenordnung der Funktion

$\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,s\longmapsto \dim _{K}{\left(R/{\mathfrak {m}}^{s}\right)},$

mit der entsprechenden Funktion für einen Polynomring in ${}d$ Variablen.

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