Starke Kontraktion/Verknüpfung/Aufgabe/Lösung

a) Es seien ${}L_{1},L_{2}<1$ die Kontraktionsfaktoren zu ${}f$ bzw. ${}g$ . Dann ist für beliebige Punkte ${}x,y\in M$

{}d(g(f(x)),g(f(y)))\leq L_{2}d(f(x),f(y))\leq L_{2}L_{1}d(x,y)\,

und somit kann man ${}L_{1}L_{2}<1$ als Kontraktionsfaktor für die Verknüpfung nehmen.

b) Wir betrachten die Abbildung

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{2}}x,

die stark kontrahierend ist und den Fixpunkt ${}0$ besitzt, und die Abbildung

g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto {\frac {1}{2}}y+1,

die ebenfalls stark kontrahierend ist und ${}2$ als Fixpunkt besitzt. Die Verknüpfung ${}g\circ f$ ist

{}(g\circ f)(x)=g(f(x)=g{\left({\frac {1}{2}}x\right)}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {1}{2}}x\right)}+1={\frac {1}{4}}x+1\,.

Hierbei ist

{}{\frac {4}{3}}

der Fixpunkt.