Stetig/K/Lineare Abbildung/Beispiel

Eine lineare Funktion

$𝕂⟶𝕂,x⟼cx,$

mit einem Proportionalitätsfaktor  $c\ne 0$  (bei $c=0$ ist die Funktion konstant und somit auch stetig) ist stetig. Zu jedem vorgegebenen $ϵ$ kann man unabhängig vom Punkt $x$ hier  $\delta =\frac{ϵ}{|c|}$  wählen: Wenn nämlich

$d(x,x^{\prime })\le \delta =\frac{ϵ}{|c|}$

gilt, so ist

$d(f(x),f(x^{\prime }))=d(cx,c{x}^{\prime })=|c|\cdot d(x,x^{\prime })\le |c|\cdot \delta =|c|\cdot \frac{ϵ}{|c|}=ϵ.$

Insbesondere ist die Identität

$𝕂⟶𝕂,x⟼x,$

stetig.