Eine
lineare Funktion
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mit einem Proportionalitätsfaktor
(bei
ist die Funktion konstant und somit auch stetig)
ist
stetig.
Zu jedem vorgegebenen
kann man unabhängig vom Punkt
hier
wählen: Wenn nämlich
-
![{\displaystyle {}d(x,x')\leq \delta ={\frac {\epsilon }{\vert {c}\vert }}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85accfe770ecf3c5aecaee5add8d7518ca03cf89)
gilt, so ist
-
![{\displaystyle {}d(f(x),f(x'))=d(cx,cx')=\vert {c}\vert \cdot d(x,x')\leq \vert {c}\vert \cdot \delta =\vert {c}\vert \cdot {\frac {\epsilon }{\vert {c}\vert }}=\epsilon \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65baac571c33e07e817762cbc02151dc8d465e71)
Insbesondere ist die Identität
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stetig.