Stetig/K/Lineare Abbildung/Beispiel

Eine lineare Funktion

${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto cx,$

mit einem Proportionalitätsfaktor ${}c\neq 0$ (bei ${}c=0$ ist die Funktion konstant und somit auch stetig) ist stetig. Zu jedem vorgegebenen ${}\epsilon$ kann man unabhängig vom Punkt ${}x$ hier ${}\delta ={\frac {\epsilon }{\vert {c}\vert }}$ wählen: Wenn nämlich

${}d(x,x')\leq \delta ={\frac {\epsilon }{\vert {c}\vert }}\,$

gilt, so ist

${}d(f(x),f(x'))=d(cx,cx')=\vert {c}\vert \cdot d(x,x')\leq \vert {c}\vert \cdot \delta =\vert {c}\vert \cdot {\frac {\epsilon }{\vert {c}\vert }}=\epsilon \,.$

Insbesondere ist die Identität

${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto x,$

stetig.