Es sei
eine Homotopie zwischen f {\displaystyle {}f} und g {\displaystyle {}g} und sei γ : [ 0 , 1 ] → X {\displaystyle {}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X} ein geschlossener stetiger Weg. Dann ist
eine Homotopie zwischen f ∘ γ {\displaystyle {}f\circ \gamma } und g ∘ γ {\displaystyle {}g\circ \gamma } . Es ist ja
und
Deshalb ist
in π 1 ( Y , y 0 ) {\displaystyle {}\pi _{1}(Y,y_{0})} für jeden Weg γ {\displaystyle {}\gamma } und somit ist π ( f ) = π ( g ) {\displaystyle {}\pi (f)=\pi (g)} .