Stetige Funktion/C/Invariant unter Multiplikation mit kleiner 1/Konstant/Aufgabe/Lösung

Unter der gegebenen Voraussetzung konvergiert die Folge ${}a^{n}$ gegen ${}0$. Daher konvergiert auch für jedes feste ${}z\in {\mathbb {C} }$ die Folge ${}a^{n}z$ gegen ${}0$. Durch iterative Anwendung der Voraussetzung an ${}f$ erhält man

${}f(z)=f(az)=f(a^{2}z)=\ldots =f(a^{n}z)\,$

für jedes ${}n\in \mathbb {N}$. Aufgrund der Stetigkeit von ${}f$ ist also

${}f(z)=\lim _{n\rightarrow \infty }f(a^{n}z)=f(\lim _{n\rightarrow \infty }a^{n}z)=f(0)\,.$

Somit ist ${}f(0)$ der einzige Wert der Funktion.

Zur gelösten Aufgabe