Stetige Funktion/C nach C/Respektiert alle Einheitswurzeln/S^1/Durch Betrag/Aufgabe

Es sei

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine stetige Funktion. Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Es gibt eine stetige Funktion

   $g\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   mit  ${}f(z)=g(\vert {z}\vert )$  für alle  ${}z\in {\mathbb {C} }$. 

2. Für alle ${}n$-ten Einheitswurzeln  ${}\zeta \in {\mathbb {C} }$  (alle ${}n\in \mathbb {N}$) ist  ${}f(\zeta z)=f(z)$  für alle  ${}z\in {\mathbb {C} }$. 
3. Für alle  ${}w\in {\mathbb {C} }$  mit  ${}\vert {w}\vert =1$  ist  ${}f(wz)=f(z)$  für alle  ${}z\in {\mathbb {C} }$. 

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