Stetige Funktion/C nach C/Respektiert alle Einheitswurzeln/S^1/Durch Betrag/Aufgabe

Es sei

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine stetige Funktion. Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Es gibt eine stetige Funktion

   $g\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   mit ${}f(z)=g(\vert {z}\vert )$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$.

2. Für alle ${}n$-ten Einheitswurzeln ${}\zeta \in {\mathbb {C} }$ (alle $n\in \mathbb {N}$) ist ${}f(\zeta z)=f(z)$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$.
3. Für alle ${}w\in {\mathbb {C} }$ mit ${}\vert {w}\vert =1$ ist ${}f(wz)=f(z)$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$.

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