Stetige Funktion/Halbgerade/Lokales Nullteilerpaar/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Zerlegung von ${ℝ}_{+}$ in die unendlich vielen halboffenen Intervalle $I_n=[\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}[$ für $n\in {\mathbb{N}}_{+}$ und $I_0=[1,+\mathrm{\infty }]$. Auf $I_n$, $n\in {\mathbb{N}}_{+}$, definieren wir die stetige Funktion ${\phi }_n$ durch

$\begin{array}{cc}{\phi }_n(x)& =-(x-\frac{1}{n+1})(x-\frac{1}{n})\\ & =-x^2+\frac{2n+1}{(n+1)n}x-\frac{1}{(n+1)n}.\end{array}$

Diese Funktion hat an den Intervallgrenzen den Wert $0$. Die Ableitung ist

$-2x+\frac{2n+1}{(n+1)n},$

das Maximum liegt also im arithmetischen Mittel der Intervallgrenzen vor und besitzt den Wert

$\begin{array}{cc}{\phi }_n\left(\frac{n+\frac{1}{2}}{(n+1)n}\right)& =-(\frac{n+\frac{1}{2}}{(n+1)n}-\frac{1}{n+1})(\frac{n+\frac{1}{2}}{(n+1)n}-\frac{1}{n})\\ & =-\frac{\frac{1}{2}}{(n+1)n}\cdot \frac{-\frac{1}{2}}{(n+1)n}\\ & \le \frac{1}{n}.\end{array}$

Mit Hilfe dieser Funktionen definieren wir

$f(x)=\{\begin{array}{c}0,\text{falls }x=0,\\ 0,\text{falls }x\in I_n,n\text{ ungerade},\\ {\phi }_n(x),\text{falls }x\in I_n,n\text{ gerade},n\ge 2,\\ 0,\text{falls }x\ge 1,\end{array}$

und

$g(x)=\{\begin{array}{c}0,\text{falls }x=0,\\ {\phi }_n(x),\text{falls }x\in I_n,n\text{ ungerade},\\ 0,\text{falls }x\in I_n,n\text{ gerade},n\ge 2,\\ 0,\text{falls }x\ge 1.\end{array}$

Diese Funktionen sind stetig: Dies ist im Innern der Intervalle klar; an den Intervallgrenzen liegt stets der Wert $0$ vor; für den Nullpunkt ergibt sich die Stetigkeit, da die Funktionen auf $[0,\frac{1}{n}]$ durch $\frac{1}{n}$ beschränkt sind. Offenbar ist $fg=0$ und für jedes $\delta >0$ sind weder $f{|}_{[0,\delta ]}$ noch $g{|}_{[0,\delta ]}$ die Nullfunktion.

Zur gelösten Aufgabe