Stetige Funktion/K/Grenzwert existiert/Stetige Fortsetzung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  ${}a\in {\tilde {T}}$  und  ${}\epsilon >0$  vorgegeben. Da ${}a$ ein Berührpunkt von ${}T$ ist und da der Grenzwert von ${}f$ in ${}a$ existiert (bei ${}a\in T$ existiert er aufgrund der Stetigkeit), gibt es ein  ${}\delta >0$  mit  ${}d{\left(f(x),{\tilde {f}}(a)\right)}\leq \epsilon /2$  für alle ${}x\in T,\,d{\left(x,a\right)}\leq \delta$. Wir behaupten, dass die Stetigkeitsbedingung mit der Aufwandsgenauigkeit ${}\delta /2$ erfüllt ist. Es sei also ein  ${}y\in {\tilde {T}}$  mit  ${}d{\left(y,a\right)}\leq \delta /2$  gegeben. Es gibt ein  ${}x\in T$  mit  ${}d{\left(x,y\right)}\leq \delta /2$  und mit  ${}d{\left(f(x),{\tilde {f}}(y)\right)}\leq \epsilon /2$.  Wegen der ersten Abschätzung und der Voraussetzung an ${}y$ ist  ${}d{\left(x,a\right)}\leq \delta$.  Insgesamt ist daher

${}d{\left({\tilde {f}}(a),{\tilde {f}}(y)\right)}\leq d{\left({\tilde {f}}(a),f(x)\right)}+d{\left(f(x),{\tilde {f}}(y)\right)}\leq \epsilon \,.$

Zur bewiesenen Aussage