Stetige Funktion/K/Grenzwert existiert/Stetige Fortsetzung/Fakt

Es sei  ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$  eine Teilmenge,

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine stetige Funktion und es sei  ${}T\subseteq {\tilde {T}}\subseteq {\mathbb {K} }$,  wobei ${}{\tilde {T}}$ aus Berührpunkten von ${}T$ bestehe. Für jedes  ${}a\in {\tilde {T}}\setminus T$  existiere der Grenzwert ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$.

Dann ist die durch

${}{\tilde {f}}(a):={\begin{cases}f(a)\,,{\text{ falls }}a\in T\,,\\\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x),\,{\text{ falls }}a\in {\tilde {T}}\setminus T\,,\end{cases}}\,$

definierte Abbildung eine stetige Fortsetzung von ${}f$ auf ${}{\tilde {T}}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen