Stetige Funktion/Nulltest über Integral mit nichtnegativen Testfunktionen/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, dass ${}f$ nicht die Nullfunktion ist. Dann gibt es einen Punkt ${}c\in [a,b]$ mit ${}f(c)\neq 0$. Sagen wir ${}f(c)>0$. Da ${}f$ stetig ist, gibt es ein Teilintervall ${}J=[d,e]\subseteq [a,b]$ mit ${}f(x)\geq {\frac {f(c)}{2}}$ für alle ${}x\in J$. Die Funktion ${}g$ sei außerhalb von ${}J$ die Nullfunktion und auf ${}J$ durch

${}g(x)=-(x-d)(x-e)\,$

definiert. Die Funktion ${}g$ ist stetig auf ${}[a,b]$ und im Innern von ${}[d,e]$ positiv, also insgesamt nichtnegativ. Daher gibt es ein weiteres Teilintervall ${}J'=[s,t]\subseteq J$ derart, dass ${}g(x)\geq {\frac {g({\frac {d+e}{2}})}{2}}$ für alle ${}x\in J'$ ist. Daher ist

${}{\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx&=\int _{d}^{e}f(x)g(x)dx\\&\geq \int _{s}^{t}f(x)g(x)dx\\&\geq (t-s){\frac {f(c)}{2}}{\frac {g({\frac {d+e}{2}})}{2}}\\&>0\end{aligned}}$

im Widerspruch zur Voraussetzung.

Zur gelösten Aufgabe