Stetige Funktion/Nulltest über Integral mit nichtnegativen Testfunktionen/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, dass $f$ nicht die Nullfunktion ist. Dann gibt es einen Punkt $c\in [a,b]$ mit  $f(c)\ne 0$.  Sagen wir  $f(c)>0$.  Da $f$ stetig ist, gibt es ein Teilintervall $J=[d,e]\subseteq [a,b]$ mit $f(x)\ge \frac{f(c)}{2}$ für alle $x\in J$. Die Funktion $g$ sei außerhalb von $J$ die Nullfunktion und auf $J$ durch

$g(x)=-(x-d)(x-e)$

definiert. Die Funktion $g$ ist stetig auf $[a,b]$ und im Innern von $[d,e]$ positiv, also insgesamt nichtnegativ. Daher gibt es ein weiteres Teilintervall $J^{\prime }=[s,t]\subseteq J$ derart, dass $g(x)\ge \frac{g(\frac{d+e}{2})}{2}$ für alle $x\in J^{\prime }$ ist. Daher ist

$\begin{array}{cc}{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx& ={\int }_d^{e}f(x)g(x)dx\\ & \ge {\int }_s^{t}f(x)g(x)dx\\ & \ge (t-s)\frac{f(c)}{2}\frac{g(\frac{d+e}{2})}{2}\\ & >0\end{array}$

im Widerspruch zur Voraussetzung.

Zur gelösten Aufgabe