Stetige Funktion/Quader/Quader-Treppenfunktionen/Aufgabe

Unter einer Quader-Treppenfunktion verstehen wir eine Abbildung

$t\colon [a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{d},b_{d}]\longrightarrow \mathbb {R} ,$

für die es Intervallunterteilungen

$a_{1}=c_{10}<c_{11}<\ldots <c_{1n_{1}}=b_{1},\ldots ,a_{d}=c_{d0}<c_{d1}<\ldots <c_{dn_{d}}=b_{d},$

derart gibt, dass

$t{|}_{[c_{1j_{1}},c_{1\,j_{1}+1}]\times \cdots \times }[c_{dj_{d}},c_{d\,j_{d}+1}]$

konstant ist. Das zugehörige Integral nennen wir Treppenintegral.

Es sei

$f\colon [a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{d},b_{d}]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion.

Zeige, dass das Supremum der Treppenintegrale zu unteren Treppenfunktionen von ${}f$ gleich dem Infimum der Treppenintegrale zu oberen Treppenfunktionen von ${}f$ ist, und somit auch gleich dem Lebesgue-Integral.

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