Stetige Funktionen/Intervall/C-wertig/Skalarprodukt/Beispiel

Es sei $[a,b]$ ein abgeschlossenes reelles Intervall mit  $a<b$  und sei

$V=\{f:[a,b]\to ℂ\mid f\text{ stetig}\},$

versehen mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation. Wir setzen

$⟨f,g⟩:={\int }_a^{b}f(t)\overline{g(t)}dt$

und erhalten damit ein Skalarprodukt auf $V$. Die Additivität folgt beispielsweise aus

$⟨f_1+f_2,g⟩={\int }_a^b(f_1(t)+f_2(t))\overline{g(t)}dt={\int }_a^b{f}_1(t)\overline{g(t)}dt+{\int }_a^b{f}_2(t)\overline{g(t)}dt=⟨f_1,g⟩+⟨f_2,g⟩.$

Die positive Definitheit folgt so: Wenn $f$ nicht die Nullfunktion ist, so sei  $s\in [a,b]$  ein Punkt mit  $f(s)\ne 0$.  Dann ist  $|f(s)|>0$  und wegen der Stetigkeit von $f$ gibt es dann auch eine Umgebung $[s-ϵ,s+ϵ]\cap [a,b]$ der Länge $\ge ϵ$, auf der überall

$|f(t)|\ge c>0$

für ein gewisses  $c\in {ℝ}_{+}$  ist (man kann $c=\frac{|f(s)|}{2}$ nehmen). Somit ist

$⟨f,f⟩={\int }_a^b|f(t){|}^{2}dt\ge {\int }_{max(a,s-ϵ)}^{min(b,s+ϵ)}|f(t){|}^{2}dt\ge ϵc^2>0$

positiv.