Es sei
ein abgeschlossenes reelles Intervall mit
und sei
-
![{\displaystyle {}V={\left\{f:[a,b]\rightarrow {\mathbb {C} }\mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a000759b9dc9a2eac17e0db991047f76443a3919)
versehen mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation. Wir setzen
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und erhalten damit ein
Skalarprodukt.
Die Additivität folgt beispielsweise aus
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Die positive Definitheit folgt so: Wenn
nicht die Nullfunktion ist, so sei
ein Punkt mit
.
Dann ist
und wegen der Stetigkeit von
gibt es dann auch eine Umgebung
der Länge
, auf der überall
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ist. Somit ist
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positiv.