Stetige Funktionen/Intervall/C-wertig/Skalarprodukt/Beispiel

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Es sei ein abgeschlossenes reelles Intervall mit und sei

versehen mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation. Wir setzen

und erhalten damit ein Skalarprodukt. Die Additivität folgt beispielsweise aus

Die positive Definitheit folgt so: Wenn nicht die Nullfunktion ist, so sei ein Punkt mit . Dann ist und wegen der Stetigkeit von gibt es dann auch eine Umgebung der Länge , auf der überall

ist. Somit ist

positiv.