Stetigkeit/R/Auf Q-N konvergent/Konstant/Aufgabe/Lösung

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Nehmen wir an, dass stetig, aber nicht konstant ist. Dann gibt es zwei Punkte mit . Sei der Betrag der Differenz der Funktionswerte. Wir setzen . Wegen der Stetigkeit gibt es ein und ein derart, dass und ist. Da es in der -Umgebung von und der -Umgebung von unendlich viele rationale Zahlen gibt, gibt es auch unendlich viele Indizes der Folge mit und unendlich viele Indizes mit .

Es sei der Grenzwert der Folge . Aufgrund der Konvergenz der Folge gibt es ein derart, dass für alle alle Folgenglieder in der -Umgebung von liegen. Diese Umgebung ist aber zu mindestens einer der -Umgebungen von oder disjunkt, so dass ein Widerspruch vorliegt.
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