Nehmen wir an, dass 
stetig, aber nicht konstant ist. Dann gibt es zwei Punkte 
mit 
. Es sei 
der Betrag der Differenz der Funktionswerte. Wir setzen
. Wegen der Stetigkeit gibt es ein 
und ein 
derart, dass
![{\displaystyle {}f([x-\delta ,x+\delta ])\subseteq [f(x)-\epsilon ,f(x)+\epsilon ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3b266dee5ebc35355df41d8fcc6bc6d64444c04)
und ![{\displaystyle {}f([x'-\delta ',x'+\delta '])\subseteq [f(x')-\epsilon ,f(x')+\epsilon ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aad11317033ee828b360e94744ca237ff9bbc78d)
ist. Da es in der 
-Umgebung von 
und der 
-Umgebung von 
unendlich viele rationale Zahlen gibt, gibt es auch unendlich viele
Indizes der Folge mit ![{\displaystyle {}f(g(n))\in [f(x)-\epsilon ,f(x)+\epsilon ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/778808afec54ac6f909808bcf7eea1291a52a9aa)
und unendlich viele Indizes mit
![{\displaystyle {}f(g(n))\in [f(x')-\epsilon ,f(x')+\epsilon ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eb2314dfc76d3bcbaaab78ad41cddb3c3ab980c)
.
Es sei
der Grenzwert der Folge
. Aufgrund der Konvergenz der Folge gibt es ein
derart, dass für alle
alle Folgenglieder
in der
-Umgebung von
liegen. Diese Umgebung ist aber zu mindestens einer der
-Umgebungen von
oder
disjunkt, so dass ein Widerspruch vorliegt.
