Stetigkeit/R/Auf Q-N konvergent/Konstant/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, dass $f$ stetig, aber nicht konstant ist. Dann gibt es zwei Punkte $x,x^{\prime }\in ℝ$ mit $f(x)\ne f(x^{\prime })$. Es sei $a=|f(x)-f(x^{\prime })|>0$ der Betrag der Differenz der Funktionswerte. Wir setzen $ϵ=a/5$. Wegen der Stetigkeit gibt es ein $\delta >0$ und ein ${\delta }^{\prime }>0$ derart, dass $f([x-\delta ,x+\delta ])\subseteq [f(x)-ϵ,f(x)+ϵ]$ und $f([x^{\prime }-{\delta }^{\prime },x^{\prime }+{\delta }^{\prime }])\subseteq [f(x^{\prime })-ϵ,f(x^{\prime })+ϵ]$ ist. Da es in der $\delta$-Umgebung von $x$ und der ${\delta }^{\prime }$-Umgebung von $x^{\prime }$ unendlich viele rationale Zahlen gibt, gibt es auch unendlich viele Indizes der Folge mit $f(g(n))\in [f(x)-ϵ,f(x)+ϵ]$ und unendlich viele Indizes mit $f(g(n))\in [f(x^{\prime })-ϵ,f(x^{\prime })+ϵ]$.

Es sei $y$ der Grenzwert der Folge $f(g(n))$. Aufgrund der Konvergenz der Folge gibt es ein $n_0$ derart, dass für alle $n\ge n_0$ alle Folgenglieder $f(g(n))$ in der $ϵ$-Umgebung von $y$ liegen. Diese Umgebung ist aber zu mindestens einer der $ϵ$-Umgebungen von $f(x)$ oder $f(x^{\prime })$ disjunkt, sodass ein Widerspruch vorliegt.

Zur gelösten Aufgabe