Nehmen wir an, dass
stetig, aber nicht konstant ist. Dann gibt es zwei Punkte
mit
. Es sei
der Betrag der Differenz der Funktionswerte. Wir setzen
. Wegen der Stetigkeit gibt es ein
und ein
derart, dass
und
ist. Da es in der
-Umgebung von
und der
-Umgebung von
unendlich viele rationale Zahlen gibt, gibt es auch unendlich viele
Indizes der Folge mit
und unendlich viele Indizes mit
.
Es sei

der Grenzwert der Folge

. Aufgrund der Konvergenz der Folge gibt es ein

derart, dass für alle

alle Folgenglieder

in der

-Umgebung von

liegen. Diese Umgebung ist aber zu mindestens einer der

-Umgebungen von

oder

disjunkt, sodass ein Widerspruch vorliegt.