Stetigkeit/R und C/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Fakt

Seien

$f,g\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$

stetige Funktionen.

Dann sind auch die Funktionen

$f+g\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)+g(x),$

$f-g\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)-g(x),$

$f\cdot g\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)\cdot g(x),$

stetig. Für eine Teilmenge ${}U\subseteq {\mathbb {K} }$, auf der ${}g$ keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion

$f/g\colon U\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)/g(x),$

stetig.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen