Stetigkeit in einem Punkt/K/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei (1) erfüllt und sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in $T$, die gegen $x$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=f(x)$

ist. Dazu sei  $ϵ>0$  vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein  $\delta >0$  mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen $x$ gibt es eine natürliche Zahl $n_0$ derart, dass für alle  $n\ge n_0$  die Abschätzung

$d(x_n,x)\le \delta$

gilt. Nach der Wahl von $\delta$ ist dann

$d(f(x_n),f(x))\le ϵ\text{ für alle }n\ge n_0,$

sodass die Bildfolge gegen $f(x)$ konvergiert.
Es sei (2) erfüllt.  Wir nehmen an, dass $f$ nicht stetig ist. Dann gibt es ein  $ϵ>0$  derart, dass es für alle  $\delta >0$  Elemente  $z\in T$  gibt, deren Abstand zu $x$ höchstens $\delta$ ist, deren Wert $f(z)$ unter der Abbildung aber zu $f(x)$ einen Abstand besitzt, der größer als $ϵ$ ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche $\delta =1/n$, $n\in {\mathbb{N}}_{+}$. D.h. für jede natürliche Zahl  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  gibt es ein  $x_n\in T$  mit

$d(x_n,x)\le \frac{1}{n}\text{ und mit }d(f(x_n),f(x))>ϵ.$

Diese so konstruierte Folge ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert gegen $x$, aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen $f(x)$, da der Abstand der Bildfolgenglieder zu $f(x)$ zumindest $ϵ$ ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).

Zur bewiesenen Aussage