Beweis
Es sei (1) erfüllt und sei
eine Folge in
, die gegen
konvergiert. Wir müssen zeigen, dass
-

ist. Dazu sei
vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein
mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von
gegen
gibt es eine natürliche Zahl
derart, dass für alle
die Abschätzung
-

gilt. Nach der Wahl von
ist dann
-
sodass die Bildfolge gegen
konvergiert.
Es sei (2) erfüllt. Wir nehmen an, dass
nicht stetig ist. Dann gibt es ein
derart, dass es für alle
Elemente
gibt, deren Abstand zu
maximal gleich
ist, deren Wert
unter der Abbildung aber zu
einen Abstand besitzt, der größer als
ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche
,
.
D.h. für jede natürliche Zahl
gibt es ein
mit
-
Diese so konstruierte Folge
konvergiert gegen
, aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen
, da der Abstand der Bildfolgenglieder zu
zumindest
ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).