Wir wollen zwei Ereignisse unabhängig nennen, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit nicht von abhängt: . Wegen der lästigen Voraussetzung und der fehlenden Symmetrie ziehen wir die folgende Definition vor.
Ist Wahrscheinlichkeitsverteilung auf und , dann heißen und stochastisch unabhängig, falls gilt:
- Ist und beliebig, dann sind unabhängig (beachte, dass ).
- Obige Gleichung ist im Fall äquivalent mit .
- Aus unabhängig folgt unabhängig.
Erweiterung der vorangegangenen Definition auf Ereignisse.
Sei eine Wahrscheinlichkeitsverteiltung auf und seien . Dann heißen (stochastisch) unabhängig, falls für jede nichtleere Teilmenge gilt
- .
Ein Begriff, der in der Stochastik keine Rolle spielt, ist der der paarweisen Unabhängigkeit der :
Daraus folgt nicht notwendigerweise die Unabhängigkeit der .
Folgende Eigenschaft der erweist sich als äquivalent zur Definition: Für jede echte, nichtleere Teilmenge mit und für jedes gilt
.
Unabhängigkeitskriterium ist äquivalent zur stochastischen Unabhängigkeit der .
Aus der Definition folgt im Fall sofort
- .
Gilt umgekehrt , so liefert unter der Voraussetzung
die Produktformel
- d.h. die Definition.
Gilt nicht, so zeigt man, dass beide Seiten der Defintion sind.
Weißer und schwarzer Würfel. Gegeben . Die Grundmenge enthält die Teilmenge und ). Die Augenzahl des ersten Würfels liegt in (). sei die Gleichverteilung auf . Dann sind unabhängige Ereignisse.
Produktexperimente, unabhängige Zufallsgrößen
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Erweiterung des Begriffs "Unabhängigkeit" für Ereignisse auf
- Zufallsexperimente (Wahrscheinlichkeitsräume)
- Zufallsgrößen
Seien und Wahrscheinlichkeitsräume des "Würfels" und einer "Zahl beim Roulette", , Gleichverteilung auf , , Wahrscheinlichkeitsraum "zweier Würfel", , Gleichverteilung auf . Zeigen Sie, dass
- mit und
für alle , .
Dies gibt Anlass zur folgenden Definition.
Produkt der Wahrscheinlichkeitsräume (Definition)
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Gegeben sind (diskrete) Wahrscheinlichkeitsräume ... . Der Wahrscheinlichkeitsraum mit , definiert auf mit
für alle heißt Produkt der Wahrscheinlichkeitsräume , . Dabei ist die kleinste Sigmaalgebra, die alle Mengen mit ... enthält.
Sind Wahrscheinlichkeitsräume, dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf , welche mit der Definition von die obige Definition erfüllt.
Jede diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf , welche die Definition erfüllt, besitzt ein und dieselbe Wahrscheinlichkeitsfunktion , nämlich
- .
Man definiere die Abbildung gemäß der Eindeutigkeit, d.h. . ist normiert (!), also eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf , die eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf definiert. erfüllt die Definition, denn
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf , welche die Definition erfüllt, heißt Produktverteiltung, genauer Produkt , der .
1. Die einzelnen Faktoren der Produktverteiltung (auch Randverteilungen genannt) lassen sich (wie folgt, aus ) zurückgewinnen:
Ist nämlich , (), so setzt man und hat
2. Spezialfall:
endlich ist genau dann die Gleichverteilung auf , wenn jedes Gleichverteilung auf ist.
In der Tat:
- für alle
(Definition Produkt WKT-Räume) (obige Bemerkung 1)
- für alle
3. Ist , so bildet ein Modell für die n-fache unabhängige Wiederholung eines Zufallsexperimentes . (sogenannte "Produktexperimente")
4. Es gibt viele Möglichkeiten, eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf anders zu definieren, als durch , so dass immer noch die obige Bemerkung 1 erfüllt ist.
; definiere Wahrscheinlichkeitsverteilung auf durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion
erfüllt nicht die Bemerkung 1, somit ist keine Produktwahrscheinlichkeit. In der Tat, für mit gilt für Ergebnisse
Der Wahrscheinlichkeitsraum , wie oben beschrieben, steht für das Zufallsexperimen " identische Wiederholungen", das extreme Gegenteil von " unabhängige Wiederholungen".
Auf dem Wahrscheinlichkeitsraum seien die Zufallsgrößen definiert, . heißen (stochastisch) unabhängig, falls
für alle .
1. Für unabhängige sind die Ereignisse unabhängig. In der Tat, ist nicht leer, dann lautet die Definition mit für wegen :
2. Die Definition lässt sich auch auf folgende Weisen schreiben:
- jeweils für alle .
Die letzte Gleichung führt unter Berücksichtigung der Definition der Produktverteilung zu folgendem Satz.
Die Zufallsgrößen , sind genau dann unabhängig, falls
(In Worten: Falls die gemeinsame Verteilung der gleich dem Produkt der Randverteilungen ist.)
Sind unabhängige Zufallsvariablen und , dann sind die Zufallsvariablen ebenfalls unabhängig.
Wegen gilt
Sind also die beiden Zufallsvariablen unabhängig, dann auch die Zufallsvariablen und auch die Zufallsvariablen , nicht aber die Zufallsvaraiblen .
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