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Stochastische Unabhängigkeit

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Unabhängige Ereignisse

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Wir wollen zwei Ereignisse unabhängig nennen, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit nicht von abhängt: . Wegen der lästigen Voraussetzung und der fehlenden Symmetrie ziehen wir die folgende Definition vor.

Definition

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Ist Wahrscheinlichkeitsverteilung auf und , dann heißen und stochastisch unabhängig, falls gilt:

Bemerkungen

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  1. Ist und beliebig, dann sind unabhängig (beachte, dass ).
  2. Obige Gleichung ist im Fall äquivalent mit .
  3. Aus unabhängig folgt unabhängig.

Definition

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Erweiterung der vorangegangenen Definition auf Ereignisse.
Sei eine Wahrscheinlichkeitsverteiltung auf und seien . Dann heißen (stochastisch) unabhängig, falls für jede nichtleere Teilmenge gilt

.

Bemerkung

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Ein Begriff, der in der Stochastik keine Rolle spielt, ist der der paarweisen Unabhängigkeit der :

Daraus folgt nicht notwendigerweise die Unabhängigkeit der .

Unabhängigkeitskriterium

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Folgende Eigenschaft der erweist sich als äquivalent zur Definition: Für jede echte, nichtleere Teilmenge mit und für jedes gilt .

Stochastische Unabhängigkeit (Satz)

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Unabhängigkeitskriterium ist äquivalent zur stochastischen Unabhängigkeit der .

Beweis - Teil 1

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Aus der Definition folgt im Fall sofort

.

Beweis - Teil 2

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Gilt umgekehrt , so liefert unter der Voraussetzung

die Produktformel

d.h. die Definition.

Gilt nicht, so zeigt man, dass beide Seiten der Defintion sind.

Beispiel

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Weißer und schwarzer Würfel. Gegeben . Die Grundmenge enthält die Teilmenge und ). Die Augenzahl des ersten Würfels liegt in (). sei die Gleichverteilung auf . Dann sind unabhängige Ereignisse.

Produktexperimente, unabhängige Zufallsgrößen

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Erweiterung des Begriffs "Unabhängigkeit" für Ereignisse auf

  • Zufallsexperimente (Wahrscheinlichkeitsräume)
  • Zufallsgrößen

Rückblick

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Seien und Wahrscheinlichkeitsräume des "Würfels" und einer "Zahl beim Roulette", , Gleichverteilung auf , , Wahrscheinlichkeitsraum "zweier Würfel", , Gleichverteilung auf . Zeigen Sie, dass

mit und

für alle , .

Dies gibt Anlass zur folgenden Definition.

Produkt der Wahrscheinlichkeitsräume (Definition)

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Gegeben sind (diskrete) Wahrscheinlichkeitsräume ... . Der Wahrscheinlichkeitsraum mit , definiert auf mit

für alle heißt Produkt der Wahrscheinlichkeitsräume , . Dabei ist die kleinste Sigmaalgebra, die alle Mengen mit ... enthält.

Sind Wahrscheinlichkeitsräume, dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf , welche mit der Definition von die obige Definition erfüllt.


Beweis (1) Eindeutigkeit:

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Jede diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf , welche die Definition erfüllt, besitzt ein und dieselbe Wahrscheinlichkeitsfunktion , nämlich

.

Beweis (2.1) Existenz:

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Man definiere die Abbildung gemäß der Eindeutigkeit, d.h. . ist normiert (!), also eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf , die eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf definiert. erfüllt die Definition, denn

Beweis (2.2) Existenz:

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Produktverteilung (Definition)

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Die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf , welche die Definition erfüllt, heißt Produktverteiltung, genauer Produkt , der .

Bemerkungen (1)

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1. Die einzelnen Faktoren der Produktverteiltung (auch Randverteilungen genannt) lassen sich (wie folgt, aus ) zurückgewinnen:

Ist nämlich , (), so setzt man und hat

Bemerkungen (2)

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2. Spezialfall:
endlich ist genau dann die Gleichverteilung auf , wenn jedes Gleichverteilung auf ist.

In der Tat:

für alle

(Definition Produkt WKT-Räume) (obige Bemerkung 1)

für alle

Bemerkungen (3)

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3. Ist , so bildet ein Modell für die n-fache unabhängige Wiederholung eines Zufallsexperimentes . (sogenannte "Produktexperimente")

4. Es gibt viele Möglichkeiten, eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf anders zu definieren, als durch , so dass immer noch die obige Bemerkung 1 erfüllt ist.

Beispiel (1)

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; definiere Wahrscheinlichkeitsverteilung auf durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion

erfüllt nicht die Bemerkung 1, somit ist keine Produktwahrscheinlichkeit. In der Tat, für mit gilt für Ergebnisse

Beispiel (2)

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Der Wahrscheinlichkeitsraum , wie oben beschrieben, steht für das Zufallsexperimen " identische Wiederholungen", das extreme Gegenteil von " unabhängige Wiederholungen".

Definition

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Auf dem Wahrscheinlichkeitsraum seien die Zufallsgrößen definiert, . heißen (stochastisch) unabhängig, falls

für alle .

Bemerkungen

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1. Für unabhängige sind die Ereignisse unabhängig. In der Tat, ist nicht leer, dann lautet die Definition mit für wegen :

2. Die Definition lässt sich auch auf folgende Weisen schreiben:

  • jeweils für alle .

Die letzte Gleichung führt unter Berücksichtigung der Definition der Produktverteilung zu folgendem Satz.

Die Zufallsgrößen , sind genau dann unabhängig, falls

(In Worten: Falls die gemeinsame Verteilung der gleich dem Produkt der Randverteilungen ist.)

Sind unabhängige Zufallsvariablen und , dann sind die Zufallsvariablen ebenfalls unabhängig.

Beweis

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Wegen gilt

Sind also die beiden Zufallsvariablen unabhängig, dann auch die Zufallsvariablen und auch die Zufallsvariablen , nicht aber die Zufallsvaraiblen .

Siehe auch

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Seiten-Information

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