Wir wollen zwei Ereignisse
unabhängig nennen, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit
nicht von
abhängt:
. Wegen der lästigen Voraussetzung
und der fehlenden Symmetrie ziehen wir die folgende Definition vor.
Ist
Wahrscheinlichkeitsverteilung auf
und
, dann heißen
und
stochastisch unabhängig, falls gilt:

- Ist
und
beliebig, dann sind
unabhängig (beachte, dass
).
- Obige Gleichung ist im Fall
äquivalent mit
.
- Aus
unabhängig folgt
unabhängig.
Erweiterung der vorangegangenen Definition auf
Ereignisse.
Sei
eine Wahrscheinlichkeitsverteiltung auf
und seien
. Dann heißen
(stochastisch) unabhängig, falls für jede nichtleere Teilmenge
gilt
.
Ein Begriff, der in der Stochastik keine Rolle spielt, ist der der paarweisen Unabhängigkeit der
:

Daraus folgt nicht notwendigerweise die Unabhängigkeit der
.
Folgende Eigenschaft der
erweist sich als äquivalent zur Definition: Für jede echte, nichtleere Teilmenge
mit
und für jedes
gilt
.
Unabhängigkeitskriterium ist äquivalent zur stochastischen Unabhängigkeit der
.
Aus der Definition folgt im Fall
sofort

.
Gilt umgekehrt
, so liefert unter der Voraussetzung

die Produktformel

d.h. die Definition.
Gilt
nicht, so zeigt man, dass beide Seiten der Defintion
sind.
Weißer und schwarzer Würfel. Gegeben
. Die Grundmenge
enthält die Teilmenge
und
). Die Augenzahl des ersten Würfels liegt in
(
).
sei die Gleichverteilung auf
. Dann sind
unabhängige Ereignisse.
Produktexperimente, unabhängige Zufallsgrößen
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Erweiterung des Begriffs "Unabhängigkeit" für Ereignisse auf
- Zufallsexperimente (Wahrscheinlichkeitsräume)
- Zufallsgrößen
Seien
und
Wahrscheinlichkeitsräume des "Würfels" und einer "Zahl beim Roulette",
,
Gleichverteilung auf
,
,
Wahrscheinlichkeitsraum "zweier Würfel",
,
Gleichverteilung auf
. Zeigen Sie, dass
mit
und 
für alle
,
.
Dies gibt Anlass zur folgenden Definition.
Produkt der Wahrscheinlichkeitsräume (Definition)
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Gegeben sind (diskrete) Wahrscheinlichkeitsräume
...
. Der Wahrscheinlichkeitsraum
mit
,
definiert auf
mit

für alle
heißt Produkt der Wahrscheinlichkeitsräume
,
. Dabei ist
die kleinste Sigmaalgebra, die alle Mengen
mit
...
enthält.
Sind
Wahrscheinlichkeitsräume, dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
auf
, welche mit der Definition von
die obige Definition erfüllt.
Jede diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung
auf
, welche die Definition erfüllt, besitzt ein und dieselbe Wahrscheinlichkeitsfunktion
, nämlich
.
Man definiere die Abbildung
gemäß der Eindeutigkeit, d.h.
.
ist normiert (!), also eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf
, die eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
auf
definiert.
erfüllt die Definition, denn



Die Wahrscheinlichkeitsverteilung
auf
, welche die Definition erfüllt, heißt Produktverteiltung, genauer Produkt
, der
.
1. Die einzelnen Faktoren
der Produktverteiltung
(auch Randverteilungen genannt) lassen sich (wie folgt, aus
) zurückgewinnen:
Ist nämlich
, (
), so setzt man
und hat

2. Spezialfall:
endlich
ist genau dann die Gleichverteilung auf
, wenn jedes
Gleichverteilung auf
ist.
In der Tat:
für alle
(Definition Produkt WKT-Räume)
(obige Bemerkung 1)
für alle 
3. Ist
, so bildet
ein Modell für die n-fache unabhängige Wiederholung eines Zufallsexperimentes
. (sogenannte "Produktexperimente")
4. Es gibt viele Möglichkeiten, eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
auf
anders zu definieren, als durch
, so dass immer noch die obige Bemerkung 1 erfüllt ist.
; definiere Wahrscheinlichkeitsverteilung
auf
durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion

erfüllt nicht die Bemerkung 1, somit ist
keine Produktwahrscheinlichkeit. In der Tat, für
mit
gilt für
Ergebnisse

![{\displaystyle =P(\lbrace (w_{1},...,w_{1})\rbrace )=P_{1}(\lbrace w_{1}\rbrace )\neq [P_{1}(\lbrace w_{1}\rbrace )]^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9c3c925db76b94f392d6f3a5da4c0a61b775bca)
Der Wahrscheinlichkeitsraum
,
wie oben beschrieben, steht für das Zufallsexperimen "
identische Wiederholungen", das extreme Gegenteil von "
unabhängige Wiederholungen".
Auf dem Wahrscheinlichkeitsraum
seien die Zufallsgrößen
definiert,
.
heißen (stochastisch) unabhängig, falls

für alle
.
1. Für unabhängige
sind die Ereignisse
unabhängig. In der Tat, ist
nicht leer, dann lautet die Definition mit
für
wegen
:

2. Die Definition lässt sich auch auf folgende Weisen schreiben:

jeweils für alle
.
Die letzte Gleichung führt unter Berücksichtigung der Definition der Produktverteilung zu folgendem Satz.
Die Zufallsgrößen
, sind genau dann unabhängig, falls

(In Worten: Falls die gemeinsame Verteilung der
gleich dem Produkt der Randverteilungen ist.)
Sind
unabhängige Zufallsvariablen und
, dann sind die Zufallsvariablen
ebenfalls unabhängig.
Wegen
gilt




Sind also die beiden Zufallsvariablen
unabhängig, dann auch die Zufallsvariablen
und auch die Zufallsvariablen
, nicht aber die Zufallsvaraiblen
.
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