Strahlensatz/Zwei Strahlen/Fakt/Beweis

Beweis

Ohne Einschränkung sei ${}s_{1}=A_{1}$, ${}s_{2}=A_{2}$ und ${}v=A_{2}-A_{1}$, da dies die beteiligten Geraden nicht ändert. Wir schreiben ${}B_{1}=tA_{1}$. Es ist ${}A_{2}=A_{1}+v$ und somit ist

${}tA_{2}=tA_{1}+tv=B_{1}+tv\,.$

Dieser Punkt gehört sowohl zu ${}S_{2}$ als auch zu ${}H$, was bedeutet, dass es sich um den Punkt ${}B_{2}$ handelt. Es ist also ${}B_{2}=tA_{2}$ und daher

${}{\frac {\Vert {B_{1}-B_{2}}\Vert }{\Vert {B_{1}}\Vert }}={\frac {\Vert {tA_{1}-tA_{2}}\Vert }{\Vert {tA_{1}}\Vert }}={\frac {\Vert {A_{1}-A_{2}}\Vert }{\Vert {A_{1}}\Vert }}\,.$

Zur bewiesenen Aussage