Strahlensatz/Zwei Strahlen/Fakt

Es sei ${}V$ ein zweidimensionaler euklidischer Vektorraum und es seien ${}s_{1},s_{2},v\in V$ von ${}0$ verschiedene Vektoren und ${}v$ sei sowohl zu ${}s_{1}$ als auch zu ${}s_{2}$ linear unabhängig sei. Es seien ${}S_{1}=\mathbb {R} s_{1}$ und ${}S_{2}=\mathbb {R} s_{2}$ die durch ${}s_{1}$ und ${}s_{2}$ definierten Geraden (die Strahlen) und es seien ${}P$ und ${}Q$ Punkte in ${}V$ mit den zugehörigen parallelen Geraden ${}G=P+\mathbb {R} v$ und ${}H=Q+\mathbb {R} v$. Die Schnittpunkte der Geraden (die aufgrund der Voraussetzungen eindeutig existieren) seien

$A_{1}=S_{1}\cap G,\,A_{2}=S_{2}\cap G,\,B_{1}=S_{1}\cap H,\,B_{2}=S_{2}\cap H,$

und es seien ${}A_{1},B_{1}\neq 0$.

Dann ist

${}{\frac {d(B_{1},B_{2})}{\Vert {B_{1}}\Vert }}={\frac {d(A_{1},A_{2})}{\Vert {A_{1}}\Vert }}\,.$

Beweis 1, 2, Alternativen Beweis erstellen