Strukturen/Isomorphismus (direkt)/Isomorph/Definition

Isomorphismus

Es sei ${}S$ ein erststufiges Symbolalphabet und ${}M$ und ${}N$ ${}S$-Strukturen. Eine bijektive Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

heißt ${}S$-Isomorphismus, wenn

1. Für jede Konstante ${}c\in S$ ist

   ${}\varphi (c^{M})=c^{N}\,.$

2. Für jedes ${}n$-stellige Funktonssymbol ${}f\in S$ ist

   ${}\varphi (f^{M}(m_{1},\ldots ,m_{n}))=f^{N}(\varphi (m_{1}),\ldots ,\varphi (m_{n}))\,$

   für alle ${}m_{1},\ldots ,m_{n}\in M$.

3. Für jede ${}n$-stelliges Relationsymbol ${}R\in S$ gilt

   $R^{M}(m_{1},\ldots ,m_{n})$

   genau dann, wenn

   $R^{N}(\varphi (m_{1}),\ldots ,\varphi (m_{n})).$

Die beiden Strukturen heißen isomorph, wenn es eine Isomorphie zwischen ihnen gibt.