Summe von Quadraten/Einführende Motivation/Beispiel

Betrachten wir die Frage, welche natürlichen Zahlen die Summe von zwei Quadratzahlen sind. Anders formuliert, für welche ${}n$ hat die Gleichung

${}n=x^{2}+y^{2}\,$

Lösungen mit ganzen Zahlen ${}x,y$? Es ist

${}0=0+0\,$

${}1=1+0\,$

${}2=1+1\,$

$3$

${}4=4+0\,$

${}5=4+1\,$

$6$

$7$

${}8=4+4\,$

${}9=9+0\,$

${}10=9+1\,$

$11$

$12$

${}13=9+4\,$

$14$

$15$

${}16=16+0\,$

${}17=16+1\,$

${}18=9+9\,$

$19$

${}20=16+4\,$

Erkennt man hier schon eine Struktur? Es ist in der Zahlentheorie üblich, solche Fragen erstmal für Primzahlen zu verstehen, und die Ergebnisse dann auf zusammengesetzte Zahlen zu übertragen. Von den Primzahlen ${}\leq 20$ sind ${}3,7,11,19$ keine Summe von zwei Quadraten, während ${}2,5,13$ und ${}17$ es sind. Es fällt auf, dass die Zahlen der ersten Reihe alle den Rest ${}3$ bei Division durch ${}4$ haben, und die Zahlen der zweiten Reihe (von ${}2$ abgesehen) den Rest ${}1$. Hier zeigt sich bereits, dass es sinnvoll ist, zu anderen Ringen überzugehen, um Fragen über natürliche oder ganze Zahlen zu beantworten. Die Restabbildung zur Division mit Rest durch ${}4$ ist ein Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(4)=\{0,1,2,3\},\,n\longmapsto n\mod 4.$

Dabei ist in ${}\mathbb {Z} /(4)$ die Addition und die Multiplikation modulo ${}4$ erklärt, also etwa ${}3\cdot 3=9=1$. Die Abbildung respektiert also die Addition und die Multiplikation. Wenn nun die Gleichung

${}n=x^{2}+y^{2}\,$

in ${}\mathbb {Z}$ eine Lösung besitzt, so liefert das sofort auch eine Lösung modulo ${}4$, nämlich

${}n=x^{2}+y^{2}\mod 4\,$

bzw.

${}(n\mod 4)=(x\mod 4)^{2}+(y\mod 4)^{2}\,$

oder

${}{\overline {n}}={\overline {x}}^{2}+{\overline {y}}^{2}\,.$

Nun sind aber in ${}\mathbb {Z} /(4)$ die Quadrate einfach

${}0^{2}=2^{2}=0\,$

und

${}1^{2}=3^{2}=1\,$

und damit sind ${}0,1$ und ${}2$ Summen von zwei Quadraten in ${}\mathbb {Z} /(4)$, aber nicht ${}3$. Es bestätigt sich also bereits die obige Beobachtung, dass natürliche Zahlen (nicht nur Primzahlen), die den Rest ${}3$ modulo ${}4$ haben, nicht die Summe von zwei Quadraten sein können.

Für Primzahlen mit dem Rest ${}1$ modulo ${}4$ liefert die Betrachtung im Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(4)$ natürlich nur, dass eine notwendige Bedingung erfüllt ist, woraus sich natürlich noch lange nicht auf eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten schließen lässt. Die Zahl ${}21$ zeigt auch, dass eine Zahl, die modulo ${}4$ den Rest ${}1$ besitzt, nicht notwendig selbst die Summe von zwei Quadraten ist. Wir werden aber im Verlauf der Vorlesung sehen, dass es für Primzahlen mit dieser Restbedingung gilt. Dafür werden wir in einem weiteren Ring arbeiten, nämlich im Ring der Gaußschen Zahlen

${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} {\mathrm {i} }\,$

(einem Unterring der komplexen Zahlen). Dort können wir

${}n=x^{2}+y^{2}=(x+{\mathrm {i} }y)(x-{\mathrm {i} }y)\,$

schreiben, wodurch die Frage, ob eine Zahl Summe von zwei Quadraten ist, mit der Frage der multiplikativen Zerlegung von natürlichen Zahlen in diesem neuen Ring in Zusammenhang gebracht wird.