Summe von zwei Quadraten/Daraus Wurzel aus -1/29/Beispiel

Wir wollen in ${}\mathbb {Z} /(29)$ eine Quadratwurzel für ${}-1$ mit Hilfe von Bemerkung finden. Es ist

${}29=5^{2}+2^{2}=(5+2{\mathrm {i} })(5-2{\mathrm {i} })\,.$

Im Restklassenkörper

${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(5+2{\mathrm {i} })\cong \mathbb {Z} /(29)\,$

ist

${}{\mathrm {i} }=-5\cdot 2^{-1}=-5\cdot 15=-75=12\,.$

In der Tat ist

${}12^{2}=144=-1\mod 29\,$