Summierbarkeit/1 durch q^2/q aus Q und 2 bis 3/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen, dass diese Familie nicht summierbar ist. Es genügt zu zeigen, dass die endlichen Teilsummen der Familie unbeschränkt sind. Es sei dazu ${}b>0$ gegeben. Aufgrund des Archimedesprinzip gibt es ein ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ mit

${}n\cdot {\frac {1}{9}}\geq b\,.$

Zwischen ${}2$ und ${}3$ gibt es unendlich viele rationale Zahlen, so dass wir ${}n$ verschiedene rationale Zahlen ${}q_{1},\ldots ,q_{n}$ in diesem Intervall wählen können. Für die zugehörige endliche Teilsumme gilt dann

${}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{q_{i}^{2}}}\geq n\cdot {\frac {1}{9}}\geq b\,,$

so dass ${}b$ überschritten wird.

Zur gelösten Aufgabe