Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Beispiel

Wir wollen ausgehend von der Menge der ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$, die einen kommutativen Ring bildet, die Menge der rationalen Zahlen konstruieren. Wir gehen dabei wieder ähnlich wie bei der Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen vor, indem wir auf einer „zu großen“ Menge eine Äquivalenzrelation einführen, sodass die Quotientenmenge ein Modell für die rationalen Zahlen sind.

Wir starten mit der Produktmenge

${}P=\mathbb {Z} \times \mathbb {N} _{+}={\left\{(a,b)\mid a\in \mathbb {Z} {\text{ und }}b\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\,.$

Zur Orientierung sei schon jetzt gesagt, dass das Paar ${}(a,b)$ später den Bruch ${}a/b$ repräsentieren soll. Auf ${}P$ wollen wir eine Äquivalenzrelation definieren, wobei zwei Paare als äquivalent gelten sollen, wenn sie „den gleichen Bruch“ repräsentieren (den es noch nicht gibt). Wir definieren

$(a,b)\sim (c,d),{\text{ falls }}ad=bc{\text{ ist}}.$

Diese Relation wird also unter Bezug auf die Gleichheit in ${}\mathbb {Z}$ erklärt. Es handelt sich dabei um eine Äquivalenzrelation, wie man direkt nachrechnen kann, siehe Aufgabe. Die Quotientenmenge unter dieser Äquivalenzrelation nennen wir ${}\mathbb {Q}$. Für die Elemente in ${}\mathbb {Q}$ schreiben wir vorläufig noch ${}[(a,b)]$.

Es ist hilfreich, sich diese Situation zu veranschaulichen, indem man die diskrete obere Halbebene

${}\mathbb {Z} \times \mathbb {N} _{+}\subset \mathbb {Z} \times \mathbb {N}$ betrachtet. Ein Paar ${}(a,b)$ ist dann ein Gitterpunkt, wobei wir uns die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ als die Punkte

$(n,1),\,n\in \mathbb {Z} ,$

vorstellen. Die zugehörige durchgezogene „Zahlengerade“

(wo also die zweite Komponente konstant ${}1$ ist.) bezeichnen wir mit ${}G$. Ein jeder Punkt ${}(a,b)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N} _{+}$ definiert eine eindeutige Gerade, die durch diesen Punkt und durch den Nullpunkt ${}(0,0)$ verläuft. In dieser geometrischen Interpretation sind zwei Punkte ${}(a,b)$ und ${}(c,d)$ genau dann äquivalent, wenn sie die gleiche Gerade definieren, und dies ist genau dann der Fall, wenn ihre „Steigungen“ übereinstimmen. Zwei Punkte liegen ja auf der gleichen Geraden genau dann, wenn sie, wenn man durch Streckung ihre zweite Koordinate zur Übereinstimmung bringt, dann auch die erste Koordinate übereinstimmt. Wenn man den ersten Punkt mit ${}d$ streckt (multipliziert) und den zweiten Punkt mit ${}b$, so erhält man die beiden Punkte ${}(da,db)$ und ${}(bc,bd)$, und die Gleichheit vorne war die Definition für die Relation.

Auch die Identifizierungsabbildung zu dieser Äquivalenzrelation kann man sich gut vorstellen. Der Schnittpunkt der durch einen Punkt ${}(a,b)$ definierten Geraden ${}H$ mit der Zahlengeraden ${}G$ ist ein Punkt, der dem Bruch ${}a/b$ entspricht.

Wir wollen nun auf ${}\mathbb {Q}$ eine Addition und eine Multiplikation definieren. Wir setzen

$[(a,b)]+[(c,d)]:=[(ad+bc,bd)]{\text{ und }}[(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)].$

Man muss jetzt zeigen, dass diese Verknüpfungen wohldefiniert sind, also unabhängig von der Wahl des Repräsentanten, siehe Aufgabe. Sodann kann man mit einigem Aufwand nachweisen, dass ${}\mathbb {Q}$ mit diesen Verknüpfungen und mit den ausgezeichneten Elementen

$0:=[(0,1)]{\text{ und }}1:=[(1,1)]$

einen Körper bilden, siehe Aufgabe. Das Negative eines Elementes ${}[(a,b)]$ ist ${}[(-a,b)]$ und das Inverse eines von null verschiedenen Elementes ${}[(a,b)]$ ist ${}[(b,a)]$ (bzw. ${}[(-b,-a)]$, falls ${}a$ negativ ist).