Summierbarkeit/1 durch z^kz^l/Teilsummen/Diagonaleinteilung/Aufgabe

Sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ , ${}\vert {z}\vert <1$ . Zu ${}j\in \mathbb {Z}$ sei

I_{j}={\left\{(k,\ell )\in \mathbb {N} ^{2}\mid k-\ell =j\right\}}.

Berechne zu jedem ${}j\in \mathbb {Z}$ zur summierbaren Familie

z^{k}z^{\ell },\,(k,\ell )\in \mathbb {N} ^{2},

die Teilsummen

t_{j}=\sum _{(k,\ell )\in I_{j}}z^{k}z^{\ell }

und berechne

{}\sum _{j\in \mathbb {Z} }t_{j}

.