Symmetrien/Isometrien/Ebene Drehungen/Einführung/Textabschnitt

Wenn man eine Drehachse für eine Raumbewegung gefunden hat, so ist die Bewegung dadurch charakterisiert, wie sie auf der zur Achse senkrechten Ebene wirkt. Von daher ist es zuerst wichtig, die Bewegungen der Ebene mit einem fixierten Punkt zu verstehen.

Beispiel

Wir betrachten den Einheitskreis

${}S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,.$

Dieser wird bekanntlich durch die trigonometrischen Funktionen parametrisiert. Diese ordnen einem Winkel ${}\alpha \in [0,2\pi )$ (bezüglich der ${}x$-Achse, gegen den Uhrzeigersinn) den zugehörigen Punkt

$(\cos \alpha ,\sin \alpha )$

auf dem Kreisbogen zu. Eine gleichmäßige Unterteilung des Intervalls ${}[0,2\pi ]$ in ${}n$ gleichgroße Stücke, die durch die Grenzen

$0,\,{\frac {2\pi }{n}},\,2{\frac {2\pi }{n}},\,3{\frac {2\pi }{n}},\ldots ,(n-1){\frac {2\pi }{n}},\,n{\frac {2\pi }{n}}=2\pi$

gegeben sind, führt zu einer gleichmäßigen Unterteilung des Kreises mit den Eckpunkten

$(1,0),\,\left(\cos {\frac {2\pi }{n}},\,\sin {\frac {2\pi }{n}}\right),\,\left(\cos 2{\frac {2\pi }{n}},\,\sin 2{\frac {2\pi }{n}}\right),\,\left(\cos 3{\frac {2\pi }{n}},\,\sin 3{\frac {2\pi }{n}}\right),\ldots ,\left(\cos(n-1){\frac {2\pi }{n}},\,\sin(n-1){\frac {2\pi }{n}}\right).$

Diese Punkte sind die Eckpunkte eines regelmäßigen ${}n$-Ecks. Das regelmäßige „Zweieck“ besitzt die Ecken $(1,0)$ und $(-1,0)$, das regelmäßige (gleichseitige) Dreieck besitzt die Ecken

$\left(1,\,0\right),\,\left(-{\frac {1}{2}},\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right),\,\left(-{\frac {1}{2}},\,-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right),$

das regelmäßige Viereck (Quadrat) besitzt die Ecken

$(1,0),\,(0,1),\,(-1,0),\,(0,-1),$

usw. Wir fassen ein solches reguläres ${}n$-Eck als ein in sich starres Gebilde auf und interessieren uns dafür, wie man es in sich selbst überführen kann. Der Nullpunkt ist der Mittelpunkt (Schwerpunkt) des ${}n$-Eckes, und bleibt bei einer Bewegung des ${}n$-Eckes auf sich selbst unverändert. Da eine solche Bewegung die Längen nicht ändert, muss der Punkt ${}(1,0)$ auf einen der Eckpunkte abgebildet werden, da nur diese Punkte des ${}n$-Eckes vom Nullpunkt den Abstand eins besitzen. Da eine Bewegung auch die Winkel nicht verändert, muss der Nachbarpunkt ${}\left(\sin {\frac {2\pi }{n}},\,\cos {\frac {2\pi }{n}}\right)$ auf einen Nachbarpunkt des Bildpunktes von ${}(1,0)$ abgebildet werden. Bei einer eigentlichen (physikalisch in der Ebene!) durchführbaren Bewegung bleibt auch die Reihenfolge (die „Orientierung“) der Ecken erhalten, sodass die einzigen eigentlichen Bewegungen eines regulären ${}n$-Eckes die Drehungen um ein Vielfaches von ${}2\pi /n$ sind.

Wenn man auch noch uneigentliche Bewegungen zulässt, so gibt es noch die Spiegelungen an einer Achse, und zwar geht bei ${}n$ gerade die Achse durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte oder zwei gegenüberliegende Seitenmittelpunkte, und bei ${}n$ ungerade durch einen Eckpunkt und einen gegenüberliegenden Seitenmittelpunkt.

Es sei ${}n$ fixiert, und setze ${}\alpha =2\pi /n$ und sei ${}\varphi$ die Drehung des ${}n$-Eckes um ${}\alpha$ gegen den Uhrzeigersinn. Dann kann man jede Drehung am ${}n$-Eck schreiben als ${}\varphi ^{k}$ mit einem eindeutig bestimmten ${}k$ zwischen ${}0$ und ${}n-1$. Dabei ist ${}\varphi ^{0}=\operatorname {Id}$ die Nulldrehung (die identische Bewegung), bei der nichts bewegt wird. Wenn man ${}\varphi$ ${}n$-mal ausführt, so hat man physikalisch gesehen eine volle Umdrehung durchgeführt. Vom Ergebnis her stimmt das aber mit der Nulldrehung überein. Allgemeiner gilt, dass wenn man ${}\varphi$ ${}m$-mal ausführt, dass dann das Endergebnis (also die effektive Bewegung) nur vom Rest ${}m\mod n$ abhängt. Die inverse Bewegung zu ${}\varphi ^{k}$ ist ${}\varphi ^{-k}$, also ${}k$-mal wieder zurück, oder gleichbedeutend ${}\varphi ^{(n-k)}$. Alle Drehungen an einem regelmäßigen ${}n$-Eck bilden eine zyklische Gruppe der Ordnung ${}n$.