Symmetrische Gruppe/n/Natürliche Operation/Beispiel

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$, ${}M={\{1,\ldots ,n\}}$ und ${}S_{n}$ die Gruppe der Permutationen auf ${}M$. Dann liegt eine natürliche Operation

$S_{n}\times M\longrightarrow M,\,(\sigma ,i)\longmapsto \sigma (i),$

vor. Der zugehörige Gruppenhomomorphismus ist die Identität. Die Operation ist treu, da jede Permutation ${}\neq \operatorname {Id} _{M}$ mindestens ein Element aus ${}M$ bewegt. Zu jedem ${}i\in M$ ist die Isotropiegruppe ${}G_{i}$ isomorph zur Permutationsgruppe ${}S_{n-1}\cong \operatorname {Perm} \,(M\setminus \{i\})$. Für je zwei Elemente ${}i,j\in M$ gibt es eine Permutation (z.B. eine Transposition), die ${}i$ in ${}j$ überführt. Bei dieser Gruppenoperation gibt es also nur eine Bahn.