Tangentialraum/Ellipsoidoberfläche/Tangentialraum/Orthogonale Zerlegung/Aufgabe/Lösung

1. Das totale Differential ist

   $\left(4x,\,6y,\,10z\right),$

   in ${}P$ führt das auf

   ${}T_{P}Y={\left\{{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\mid -4a+6b+10c=0\right\}}={\left\{{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\mid \left\langle {\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-4\\-6\\10\end{pmatrix}}\right\rangle =0\right\}}\,.$

2. Wir machen den Ansatz

   ${}{\begin{pmatrix}-3\\2\\4\end{pmatrix}}=s{\begin{pmatrix}-4\\-6\\10\end{pmatrix}}+v\,$

   mit einem gesuchten Skalar ${}s\in \mathbb {R}$ und dem gesuchten tangentialen Vektor ${}v$. Es ist

   ${}\left\langle {\begin{pmatrix}-3\\2\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-4\\-6\\10\end{pmatrix}}\right\rangle =12-12+40=40\,.$

   Wegen

   ${}\left\langle {\begin{pmatrix}-4\\-6\\10\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-4\\-6\\10\end{pmatrix}}\right\rangle =16+36+100=152\,$

   ist

   ${}s={\frac {40}{152}}={\frac {5}{19}}\,$

   und damit

   ${}v={\begin{pmatrix}-3\\2\\4\end{pmatrix}}-{\frac {5}{19}}{\begin{pmatrix}-4\\-6\\10\end{pmatrix}}={\frac {1}{19}}{\begin{pmatrix}-57+20\\38+30\\76-50\end{pmatrix}}={\frac {1}{19}}{\begin{pmatrix}-37\\68\\26\end{pmatrix}}\,.$

   Die orthogonale Zerlegung ist also

   ${}w={\begin{pmatrix}-3\\2\\4\end{pmatrix}}={\frac {5}{19}}{\begin{pmatrix}-4\\-6\\10\end{pmatrix}}+{\frac {1}{19}}{\begin{pmatrix}-37\\68\\26\end{pmatrix}}\,.$

3. Wir schreiben die Flächengleichung ${}2x^{2}+3y^{2}+5z^{2}=10$ als

   ${}z=\pm {\sqrt {10-2x^{2}-3y^{2}}}\,,$

   wobei im Punkt ${}P$ die positive Wurzel zu nehmen ist. Dies ist eine Parametrisierung der Fläche in einer offenen Umgebung von ${}P$, wobei der Tangentialraum in ${}{\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}$ in den Tangentialraum ${}T_{P}Y$ abgebildet wird.

Zur gelösten Aufgabe