Taylor-Formel/Restglied O-Notation/Aufgabe

Es sei  ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  offen,  ${}0\in G$  und

$R\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Sei  ${}k\in \mathbb {N}$.  Zeige, falls für eine Konstante  ${}c>0$  und alle ${}v$ in einer offenen Umgebung von ${}0$ die Abschätzung  ${}\Vert {R(v)}\Vert \leq c\Vert {v}\Vert ^{k+1}$  gilt, dass dann  ${}\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\tfrac {\Vert {R(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert ^{k}}}=0$  folgt.

Zeige umgekehrt durch ein Beispiel, dass aus  ${}\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\tfrac {\Vert {R(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert ^{k}}}=0$  im Allgemeinen nicht die Abschätzung  ${}\Vert {R(v)}\Vert \leq c\Vert {v}\Vert ^{k+1}$  folgt.

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