Taylorpolynom/x^2-y sin x/Grad 3/Aufgabe/Kommentar

Das Taylor-Polynom from Grad ${}\leq 3$ in ${}(0,0)$ ist von der Form

$T_{3}(v)=\sum _{\vert r\vert \leq 3}a_{r}v^{r},$

wobei für die Koeffizienten ${}a_{r}={\tfrac {1}{r!}}D^{r}f(0,0)$ gilt. Dabei soll ${}v=(x,y)$ sein. Außerdem ist ${}r\in \mathbb {N} ^{2}$ ein Multiindex. Diese Multiindexschreibweise bedeutet, dass beispielsweise ${}v^{(2,1)}=(x,y)^{(2,1)}$ als ${}x^{2}y$ interpretiert wird, und ist sehr nützlich, da die Schreibweise eine sehr kompakte Form ermöglicht. Komplett ausgeschrieben (also ohne Multiindexnotation) ist das Taylor-Polynom von der Form

$T_{3}(v)=T_{3}(x,y)=a_{00}+(a_{10}x+a_{01}y)+(a_{20}x^{2}+a_{11}xy+a_{02}y^{2})+(a_{30}x^{3}+a_{21}x^{2}y+a_{12}xy^{2}+a_{03}y^{3}).$

Hier haben wir die Terme, die den gleichen Grad besitzen, zur besseren Übersicht geklammert.

Zu bestimmen sind nun die Koeffizienten ${}a_{r}$. Für ${}r=(2,1)$ gilt beispielsweise

$D^{(2,1)}f(0,0)=\partial _{x}^{2}\partial _{y}f(0,0)=\partial _{x}^{2}(-\sin(x))\vert _{(0,0)}=\sin(x)\vert _{(0,0)}=0.$

Man beachte, dass man aufgrund des Satzes von Schwarz die Reihenfolge der partiellen Ableitungen vertauschen kann, was die Rechnung manchmal vereinfachen kann. (Zum Beispiel ist damit direkt klar, dass ${}\partial _{x}^{2}\partial _{y}x\sin(\sin(y^{3}+2y+\exp(y)))=0$ ist, ohne zunächst explizit nach ${}y$ abzuleiten.)

Oft bietet es sich an, weitere Vorüberlegungen zu tätigen, bevor man alle Koeffizienten einzeln ausrechnet, um etwas Rechenaufwand zu sparen. In unserem Fall ist beispielsweise die vorliegende Funktion die Summe der Funktionen ${}x^{2}$ und ${}-y\sin x$. Entsprechend ist das Taylor-Polynom die Summe der Taylor-Polynome der beiden Summanden.

Der erste Summand ist selbst ein Polynom vom Grad ${}\leq 3$, sodass das zugehörige Taylor-Polynom auch ${}x^{2}$ ist. Dazu müssen wir also gar nichts rechnen.

Für den zweiten Summanden sehen wir, dass die höheren partiellen Ableitungen immer Null sind, wenn wir mindestens zweimal nach ${}y$ ableiten, sodass direkt klar ist, dass die zugehörigen Koeffizienten im Taylor-Polynom verschwinden.

Zur kommentierten Aufgabe