Taylorreihe/R/Einsetzen/Bestimmung/Bemerkung

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Es seien

und

Funktionen, für die die Taylor-Polynome in den Entwicklungspunkten und bis zum Grad bekannt seien (insbesondere seien also diese Funktionen bis zur Ordnung differenzierbar). Dann ist die hintereinandergeschaltete Funktion

bis zur Ordnung differenzierbar. Das zugehörige Taylor-Polynom lässt sich direkt berechnen: Sei dazu das Taylor-Polynom zu und das Taylor-Polynom zu . Dann stimmt das Taylor-Polynom von bis zum Grad mit dem Polynom bis zum Grad überein (das Polynom hat im Allgemeinen einen Grad . Man denke an und und ). D.h. man muss in überall durch ersetzen, durch Umsortieren ein Polynom in erhalten und davon die Monome vom Grad weglassen (diese Monome muss man also nicht ausrechnen).