Taylorreihe/R/Umkehrfunktion/Bestimmung/Bemerkung

Es sei

f : I ⟶ J

( $I, J$ seien reelle Intervalle) eine bijektive, $n$ -mal differenzierbare Funktion, und in einem festen Punkt $a \in I$ gelte $f^{'} (a) \neq 0$ . Nach Fakt ist die Umkehrfunktion

g = f^{- 1} : J ⟶ I

ebenfalls differenzierbar. Die Taylorreihe bis zum Grad $n$ der Umkehrfunktion $g$ kann man aus der Taylorreihe $S$ bis zum Grad $n$ von $f$ berechnen. Man macht dazu ausgehend von $f \circ g = Id$ den Ansatz

S \circ T \overset{!}{=} x .

Dabei steht rechts die Taylor-Reihe der Identität, und links muss man das zu bestimmende Polynom $T$ mit unbestimmten Koeffizienten ansetzen und in das Polynom $S$ einsetzen (die Gleichung kann nicht als eine polynomiale Identität gelten, sondern nur, wenn man Terme vom Grad $\geq n + 1$ ignoriert). Der Einfachheit halber sei $a = 0$ und $f (a) = 0$ . Es sei $S = a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ (mit $a_{1} \neq 0$ ) vorgegeben und $T = b_{1} x + b_{2} x^{2} + \dots + b_{n} x^{n}$ gesucht. Dies führt zur Gesamtbedingung

\begin{matrix} x & = S \circ T \\ = a_{1} T + a_{2} T^{2} + \dots + a_{n} T^{n} \\ = a_{1} (b_{1} x + \dots + b_{n} x^{n}) + a_{2} {(b_{1} x + \dots + b_{n} x^{n})}^{2} + \dots + a_{n} {(b_{1} x + \dots + b_{n} x^{n})}^{n} . \end{matrix}

Damit erhält man die Einzelbedingungen (durch Koeffizientenvergleich zu jedem Grad $\leq n$ )

1 = a_{1} b_{1},

0 = a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}^{2},

0 = a_{1} b_{3} + 2 a_{2} b_{1} b_{2} + a_{3} b_{1}^{3},

aus denen man sukzessive die Koeffizienten $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots$ berechnen kann.