Taylorreihe/R/Umkehrfunktion/Bestimmung/Bemerkung

Es sei

$f\colon I\longrightarrow J$

(${}I,J$ seien reelle Intervalle) eine bijektive, ${}n$-mal differenzierbare Funktion, und in einem festen Punkt ${}a\in I$ gelte ${}f'(a)\neq 0$. Nach Fakt ist die Umkehrfunktion

$g=f^{-1}\colon J\longrightarrow I$

ebenfalls differenzierbar. Die Taylorreihe bis zum Grad ${}n$ der Umkehrfunktion ${}g$ kann man aus der Taylorreihe ${}S$ bis zum Grad ${}n$ von ${}f$ berechnen. Man macht dazu ausgehend von ${}f\circ g=\operatorname {Id}$ den Ansatz

${}S\circ T{\stackrel {!}{=}}x\,.$

Dabei steht rechts die Taylor-Reihe der Identität, und links muss man das zu bestimmende Polynom ${}T$ mit unbestimmten Koeffizienten ansetzen und in das Polynom ${}S$ einsetzen (die Gleichung kann nicht als eine polynomiale Identität gelten, sondern nur, wenn man Terme vom Grad ${}\geq n+1$ ignoriert). Der Einfachheit halber sei ${}a=0$ und ${}f(a)=0$. Es sei ${}S=a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}$ (mit ${}a_{1}\neq 0$) vorgegeben und ${}T=b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots +b_{n}x^{n}$ gesucht. Dies führt zur Gesamtbedingung

${}{\begin{aligned}x&=S\circ T\\&=a_{1}T+a_{2}T^{2}+\cdots +a_{n}T^{n}\\&=a_{1}(b_{1}x+\cdots +b_{n}x^{n})+a_{2}{\left(b_{1}x+\cdots +b_{n}x^{n}\right)}^{2}+\cdots +a_{n}{\left(b_{1}x+\cdots +b_{n}x^{n}\right)}^{n}.\end{aligned}}$

Damit erhält man die Einzelbedingungen (durch Koeffizientenvergleich zu jedem Grad ${}\leq n$)

${}1=a_{1}b_{1}\,,$

${}0=a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}^{2}\,,$

${}0=a_{1}b_{3}+2a_{2}b_{1}b_{2}+a_{3}b_{1}^{3}\,,$

aus denen man sukzessive die Koeffizienten ${}b_{1},b_{2},b_{3},\ldots$ berechnen kann.