Taylorreihe/R/Umkehrfunktion/Bestimmung/Bemerkung

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Es sei

( seien reelle Intervalle) eine bijektive, -mal differenzierbare Funktion, und in einem festen Punkt gelte . Nach Fakt ist die Umkehrfunktion

ebenfalls differenzierbar. Die Taylorreihe bis zum Grad der Umkehrfunktion kann man aus der Taylorreihe bis zum Grad von berechnen. Man macht dazu ausgehend von den Ansatz

Dabei steht rechts die Taylor-Reihe der Identität, und links muss man das zu bestimmende Polynom mit unbestimmten Koeffizienten ansetzen und in das Polynom einsetzen (die Gleichung kann nicht als eine polynomiale Identität gelten, sondern nur, wenn man Terme vom Grad ignoriert). Der Einfachheit halber sei und . Es sei (mit ) vorgegeben und gesucht. Dies führt zur Gesamtbedingung

Damit erhält man die Einzelbedingungen (durch Koeffizientenvergleich zu jedem Grad )

aus denen man sukzessive die Koeffizienten berechnen kann.