Es sei
-
(
seien reelle Intervalle)
eine bijektive,
-mal
differenzierbare
Funktion, und in einem festen Punkt
gelte
.
Nach
Fakt
ist die Umkehrfunktion
-
ebenfalls differenzierbar. Die Taylorreihe bis zum Grad
der Umkehrfunktion
kann man aus der Taylorreihe
bis zum Grad
von
berechnen. Man macht dazu ausgehend von
den Ansatz
-

Dabei steht rechts die Taylor-Reihe der Identität, und links muss man das zu bestimmende Polynom
mit unbestimmten Koeffizienten ansetzen und in das Polynom
einsetzen
(die Gleichung kann nicht als eine polynomiale Identität gelten, sondern nur, wenn man Terme vom Grad
ignoriert).
Der Einfachheit halber sei
und
.
Es sei
(mit
)
vorgegeben und
gesucht. Dies führt zur Gesamtbedingung

Damit erhält man die Einzelbedingungen
(durch Koeffizientenvergleich zu jedem Grad
)
-

-

-

aus denen man sukzessive die Koeffizienten
berechnen kann.