Teilbarkeit/N/Exponenten/Produktordnung/Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {P} }$ die Menge der Primzahlen und ${}\mathbb {N} ^{\mathbb {P} }$ die Menge aller Abbildungen von ${}{\mathbb {P} }$ nach ${}\mathbb {N}$. Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow \mathbb {N} ^{\mathbb {P} },\,n\longmapsto (a_{p})_{p\in {\mathbb {P} }},$

die jeder natürlichen Zahl  ${}n\neq 0$  das Exponententupel  ${}(a_{p})_{p\in {\mathbb {P} }}=(a_{p}(n))_{p\in {\mathbb {P} }}$  zuordnet. Man betrachtet also die eindeutige Primfaktorzerlegung

${}n=\prod _{p\in {\mathbb {P} }}p^{a_{p}}\,,$

wobei sich das Produkt über alle Primzahlen erstreckt und wobei nur endlich viele Exponenten ungleich ${}0$ sind.

1. Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.
2. Bestimme das Bild von ${}\varphi$.
3. Es sei ${}\mathbb {N} _{+}$ mit der Teilbarkeitsrelation und ${}\mathbb {N} ^{\mathbb {P} }$ mit der Produktordnung versehen. Zeige, dass ${}\varphi$ eine ordnungsvolltreue Abbildung ist.

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