Teilbarkeitstheorie/Gemeinsame Teiler/Idealcharakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Aus  ${}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})\subseteq (t)$  folgt sofort  ${}(a_{i})\subseteq (t)$  für  ${}i=1,\ldots ,k$,  was gerade bedeutet, dass ${}t$ diese Elemente teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Es sei umgekehrt ${}t$ ein gemeinsamer Teiler. Dann ist  ${}a_{i}\in (t)$  und da  ${}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})$  das kleinste Ideal ist, das alle ${}a_{i}$ enthält, muss  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq (t)$  gelten. Der zweite Teil folgt sofort aus dem ersten.

Zur bewiesenen Aussage