Teilbarkeitstheorie/Gemeinsame Teiler/Idealcharakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Aus ${}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})\subseteq (t)$ folgt sofort ${}(a_{i})\subseteq (t)$ für ${}i=1,\ldots ,k$, was gerade bedeutet, dass ${}t$ diese Elemente teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Es sei umgekehrt ${}t$ ein gemeinsamer Teiler. Dann ist ${}a_{i}\in (t)$ und da ${}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})$ das kleinste Ideal ist, das alle ${}a_{i}$ enthält, muss ${}{\mathfrak {a}}\subseteq (t)$ gelten. Der zweite Teil folgt sofort aus dem ersten.

Zur bewiesenen Aussage