Teilbarkeitstheorie/Gemeinsame Teiler/Idealcharakterisierung/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring,  ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$  und  ${}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})$  das davon erzeugte Ideal.

Ein Element  ${}t\in R$  ist ein gemeinsamer Teiler von  ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$  genau dann, wenn  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq (t)$  ist,

und ${}t$ ist ein größter gemeinsamer Teiler genau dann, wenn für jedes  ${}s\in R$  mit  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq (s)$  folgt, dass  ${}(t)\subseteq (s)$  ist. Ein größter gemeinsamer Teiler erzeugt also ein minimales Hauptoberideal von ${}{\mathfrak {a}}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen