Teilbarkeitstheorie/Kleinstes Gemeinsames Vielfaches/Idealcharakterisierung/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring,  ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$  und  ${}{\mathfrak {b}}=(a_{1})\cap \ldots \cap (a_{k})$  der Durchschnitt der zugehörigen Hauptideale. Ein Element  ${}r\in R$  ist ein gemeinsames Vielfaches von  ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$  genau dann, wenn  ${}(r)\subseteq {\mathfrak {b}}$  ist, und ${}r$ ist ein kleinstes gemeinsames Vielfaches genau dann, wenn für jedes  ${}s\in R$  mit  ${}(s)\subseteq {\mathfrak {b}}$  folgt, dass  ${}(s)\subseteq (r)$  ist. Ein kleinstes gemeinsames Vielfaches erzeugt also ein maximales Hauptdeal innerhalb von ${}{\mathfrak {b}}$.

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