Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Ist klar wegen

   ${}a=a\cdot 1\,.$

2. Ist klar wegen

   ${}0=a\cdot 0\,.$

3. Die beiden Voraussetzungen bedeuten die Existenz von ${}s,t\in \mathbb {N}$ mit ${}b=as$ und ${}c=bt$. Somit ist

   ${}c=bt=(as)t=a(st)\,$

   und ${}a$ ist auch ein Teiler von ${}c$.

4. Aus den Voraussetzungen ${}b=as$ und ${}d=tc$ ergibt sich direkt

   ${}bd=astc=acts\,,$

   also ist ${}ac$ ein Teiler von ${}bd$.

5. Aus der Voraussetzung ${}b=as$ ergibt sich direkt

   ${}bc=acs\,,$

   also ist ${}ac$ ein Teiler von ${}bc$.

6. Aus den Voraussetzungen ${}b=at$ und ${}c=au$ ergibt sich direkt mit dem Distributivgesetz

   ${}rb+sc=rat+sau=a(rt+su)\,,$

   also ist ${}a$ ein Teiler von ${}rb+sc$.

Zur bewiesenen Aussage