Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Bruchversion/Aufgabe

1. Für jede natürliche Zahl ${}a$ gilt ${}{\frac {a}{1}}=a$ und bei ${}a\neq 0$ gilt auch ${}{\frac {a}{a}}=1$.
2. Für jede natürliche Zahl ${}a\neq 0$ gilt ${}{\frac {0}{a}}=0$.
3. Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}b\,{|}\,c$, so gilt auch ${}a\,{|}\,c$ und es ist (bei $a,b\neq 0$)

   ${}{\frac {c}{a}}={\frac {b}{a}}\cdot {\frac {c}{b}}\,.$

4. Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}c\,{|}\,d$, so gilt auch ${}ac\,{|}\,bd$ und es ist (bei $a,c\neq 0$)

   ${}{\frac {bd}{ac}}={\frac {b}{a}}\cdot {\frac {d}{c}}\,.$

5. Gilt ${}a\,{|}\,b$, so gilt auch ${}ac\,{|}\,bc$ für jede natürliche Zahl ${}c$, und es ist (bei ${}a,c\neq 0$)

   ${}{\frac {bc}{ac}}={\frac {b}{a}}\,$

6. Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}a\,{|}\,c$, so gilt auch ${}a\,{|}\,{\left(rb+sc\right)}$ für beliebige natürliche Zahlen ${}r,s$, und es ist (bei $a\neq 0$)

   ${}{\frac {rb+sc}{a}}=r{\frac {b}{a}}+s{\frac {c}{a}}\,.$

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