Teilbarkeitstheorie (Z)/Durchschnitt von Untergruppen/Durch kgV erzeugt/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist klar, dass eine ganze Zahl ${}b$ ein gemeinsames Vielfaches der ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ ist genau dann, wenn

$b\in \mathbb {Z} a_{1}\cap \ldots \cap \mathbb {Z} a_{n}{\text{ bzw. }}\mathbb {Z} b\subseteq \mathbb {Z} a_{1}\cap \ldots \cap \mathbb {Z} a_{n}$

gilt. Nach Fakt gibt es ein eindeutig bestimmtes ${}c\geq 0$ mit

${}\mathbb {Z} c=\mathbb {Z} a_{1}\cap \ldots \cap \mathbb {Z} a_{n}\,.$

Nach der Vorüberlegung ist daher ${}c$ ein gemeinsames Vielfaches und für jedes weitere gemeinsame Vielfache ${}b$ gilt

${}\mathbb {Z} b\subseteq \mathbb {Z} c\,.$

Dies bedeutet, dass ${}b$ ein Vielfaches von ${}c$ ist.

Zur bewiesenen Aussage