Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt/Beweis2

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Beweis

Wir führen den Beweis durch Kontraposition. D.h. wir setzen voraus, dass weder noch ein Vielfaches von ist, und müssen zeigen, dass dann auch das Produkt kein Vielfaches von sein kann. Unter der gegebenen Voraussetzung sind und und und jeweils teilerfremd. Nach Fakt gibt es ganze Zahlen mit

und

Daher ist

Wenn nun ein Teiler von wäre, so könnte man

schreiben und dann wäre ein Vielfaches von , was natürlich nicht der Fall ist.

Zur bewiesenen Aussage