Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt/Beweis3

Beweis

Wir setzen voraus, dass $a$ kein Vielfaches von $p$ ist (andernfalls sind wir fertig). Dann müssen wir zeigen, dass $b$ ein Vielfaches von $p$ ist. Unter der gegebenen Voraussetzung sind $a$ und $p$ teilerfremd. Nach dem Lemma von Bézout gibt es ganze Zahlen $r,s$ mit

$ra+sp=1.$

Da $ab$ ein Vielfaches von $p$ ist, gibt es ein $t$ mit

$ab=tp.$

Daher ist

$b=b\cdot 1=b(ra+sp)=abr+bsp=tpr+bsp=p(tr+bs).$

Also ist $b$ ein Vielfaches von $p$.

Zur bewiesenen Aussage