Teilbarkeitstheorie (Z)/Zusammenhang zu Ringhomomorphismus und Gruppenhomomorphismus/Aufgabe/Lösung

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Wenn ein Teiler von ist, so ist und daher ist und somit gilt die Idealinklusion . Unter dem kanonischen Ringhomomorphismus

wird also auf null abgebildet und daher gibt es nach dem Satz vom induzierten Homomorphismus einen Ringhomomorphismus

Wenn es umgekehrt einen solchen Ringhomomorphismus gibt, so betrachten wir insgesamt den Ringhomomorphismus

Die Gesamtabbildung muss also auf null schicken, d.h. , und ist ein Vielfaches von .

Für das Beispiel betrachten wir und . In bildet die Menge eine Untergruppe, die zu isomorph ist, so dass ein injektiver Gruppenhomomorphismus vorliegt.