Teilmengen im R^n/Nicht beschränkt oder nicht abgeschlossen/Stetige unbeschränkte Funktion/Aufgabe/Lösung

a) Wir betrachten die stetige Funktion

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2},$

und die

(ebenfalls stetige) Einschränkung davon auf ${}T$. Da ${}T$ unbeschränkt ist, gibt es für jedes ${}k\in \mathbb {R}$ ein ${}x\in T$ mit

${}d(x,0)={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}>k\,.$

Daher ist natürlich

(bei ${}k\geq 1$) auch

${}f(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}>k\,.$

sodass das Bild von ${}f$ nicht beschränkt ist.

b) ${}T$ sei nicht abgeschlossen. Dann gibt es eine Folge ${}P_{m}$ in ${}T$, die gegen einen Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ mit ${}P\not \in T$ konvergiert. Es sei

$P=(a_{1},\ldots ,a_{n}).$

Wir betrachten die Funktion

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{(d(P,x))^{2}}}={\frac {1}{(x_{1}-a_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}-a_{n})^{2}}}.$

Diese Funktion ist auf ${}T$ definiert, da sie auf ${}\mathbb {R} ^{n}\setminus \{P\}$ definiert ist, da die Summe der Quadrate positiv ist, sobald in einer Komponente ${}x_{i}\neq a_{i}$ ist. Diese Funktion ist stetig als Kehrwertfunktion einer nullstellenfreien stetigen Funktion.

Wir behaupten, dass diese Funktion auf ${}T$ unbeschränkt ist. Dazu sei ${}k\in \mathbb {R}$ vorgegeben und sei ${}\epsilon >0$ mit ${}{\left({\frac {1}{\epsilon }}\right)}^{2}\geq k$. Da die Folge ${}P_{m}$ gegen ${}P$ konvergiert, gibt es ein ${}m\in \mathbb {N}$ mit

$d(P,P_{m})\leq \epsilon .$

Daher ist

${}f(P_{m})={\frac {1}{(d(P,P_{m}))^{2}}}\geq {\frac {1}{\epsilon ^{2}}}\geq k\,$

und die Funktion ist auf ${}T$ unbeschränkt.

Zur gelösten Aufgabe