Teilmengen im R^n/Nicht beschränkt oder nicht abgeschlossen/Stetige unbeschränkte Funktion/Aufgabe/Lösung

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a) Wir betrachten die stetige Funktion

und die

(ebenfalls stetige) Einschränkung davon auf . Da unbeschränkt ist, gibt es für jedes ein mit

Daher ist natürlich

(bei ) auch

so dass das Bild von nicht beschränkt ist.

b) sei nicht abgeschlossen. Dann gibt es eine Folge in , die gegen einen Punkt mit konvergiert. Es sei

Wir betrachten die Funktion

Diese Funktion ist auf definiert, da sie auf definiert ist, da die Summe der Quadrate positiv ist, sobald in einer Komponente ist. Diese Funktion ist stetig als Kehrwertfunktion einer nullstellenfreien stetigen Funktion.

Wir behaupten, dass diese Funktion auf unbeschränkt ist. Dazu sei vorgegeben und sei mit . Da die Folge gegen konvergiert, gibt es ein mit

Daher ist

und die Funktion ist auf unbeschränkt.