Telefonanbieter/Wechsel/Aufgabe

Die Telefonanbieter ${}A,B$ und ${}C$ kämpfen um einen Markt, wobei die Marktaufteilung im Jahr ${}j$ durch das Kundentupel ${}K_{j}=(a_{j},b_{j},c_{j})$ ausgedrückt wird (dabei steht ${}a_{j}$ für die Anzahl der Kunden von ${}A$ im Jahr ${}j$ usw.). Es sind regelmäßig folgende Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres zu beobachten.

1. Die Kunden von ${}A$ bleiben zu ${}80\%$ bei ${}A$ und wechseln zu je ${}10\%$ zu ${}B$ bzw. zu ${}C$.
2. Die Kunden von ${}B$ bleiben zu ${}70\%$ bei ${}B$ und wechseln zu ${}10\%$ zu ${}A$ und zu ${}20\%$ zu ${}C$.
3. Die Kunden von ${}C$ bleiben zu ${}50\%$ bei ${}C$ und wechseln zu ${}20\%$ zu ${}A$ und zu ${}30\%$ zu ${}B$.

a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die das Kundentupel ${}K_{j+1}$ aus ${}K_{j}$ berechnet.

b) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel ${}(12000,10000,8000)$ innerhalb eines Jahres?

c) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel ${}(10000,0,0)$ in vier Jahren?

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