Terminterpretation/Aussage/Verschiedene Strukturen/1/Aufgabe

Es sei ${}N$ ein einstelliges Funktionssymbol, ${}F$ und ${}G$ seien zweistellige Funktionssymbole und ${}x,y$ seien Variablen.

Wir betrachten die folgenden Modelle (wobei ${}M$ die Grundmenge bezeichnet).

a)  ${}M=\mathbb {R}$,  ${}N$ ist die Quadrierung, ${}F$ die Addition und ${}G$ die Multiplikation.

b)  ${}M=C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )={\left\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ unendlich oft differenzierbar}}\right\}}$,  ${}N$ ist das Differenzieren von Funktionen, ${}F$ die Multiplikation und ${}G$ die Addition von Funktionen. Bestimme, ob in diesen Modellen die folgenden Aussagen wahr werden.

1. $\forall x\forall y{\left(NFxy=GFxNyFNxy\right)}.$

2. $\forall y\exists x{\left(NFxy=GFxNyFNxy\right)}.$

3. $\exists y\forall x{\left(NFxy=GFxNyFNxy\right)}.$

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