Terminterpretation/Aussage/Verschiedene Strukturen/1/Aufgabe/Lösung

Im ersten Modell ist ${}NFxy$ als ${}(x+y)^{2}$ und ${}GFxNyFNxy$ als ${}(x+y^{2})\cdot (x^{2}+y)$ zu interpretieren, wobei ${}x,y$ reelle Zahlen sind.

1. Die Gleichung

   ${}(x+y)^{2}=(x+y^{2})\cdot (x^{2}+y)\,$

   gilt in ${}\mathbb {R}$ definitiv nicht für alle reelle Zahlen, beispielsweise gilt sie für ${}x=1$ und ${}y=2$ nicht.

2. Wir schreiben die Gleichung als

   ${}y^{3}+x^{2}y^{2}+x^{3}+xy-x^{2}-2xy-y^{2}=0\,.$

   Für ein beliebiges aber fixiertes ${}x$ ist der Ausdruck links ein normiertes Polynom vom Grad ${}3$ in ${}y$. Dieses besitzt nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle, deshalb ist die Aussage wahr.

3. Zu jedem ${}y$ ist der Ausdruck links aus (2) ein Polynom in ${}x$ vom Grad ${}3$, also definitiv nicht das Nullpolynom, die Aussage ist also falsch.

Im zweiten Modell ist ${}NFxy$ als ${}(x\cdot y)'$ und ${}GFxNyFNxy$ als ${}(x'\cdot y)+(x\cdot y')$ zu interpretieren, wobei ${}x,y$ unendlich oft differenzierbare Funktionen sind. Dies ist die Produktregel für die Ableitung, also wahr für beliebige ${}x,y$. Damit gilt insbesondere auch (2) und (3), da es ja unendlich oft differenzierbare Funktionen gibt.

Zur gelösten Aufgabe