Topf/Deckel/Prädikatenlogisch/Aufgabe

Wir betrachten die beiden Sätze „Für jeden Topf gibt es einen Deckel“ und „Es gibt einen Deckel für jeden Topf“, die man im alltäglichen Verständnis wohl als gleichbedeutend ansehen würde. Wenn man aber die beiden Aussagen streng prädikatenlogisch (quantorenlogisch) von vorne nach hinten abarbeitet, so ergeben sich zwei unterschiedliche Bedeutungen.

1. Formuliere die beiden Aussagen durch zusätzliche Wörter so um, dass die unterschiedlichen Bedeutungen deutlich hervortreten.
2. Es sei ${}T$ die Menge der Töpfe und ${}D$ die Menge der Deckel. Es sei ${}P$ ein zweistelliges Prädikat derart, dass (für ${}x\in T$ und ${}y\in D$) ${}P(x,y)$ besagt, dass ${}y$ auf ${}x$ passt. Formuliere die beiden Aussagen allein mit geeigneten mathematischen Symbolen.
3. Kann man aus der Aussage, dass es für jeden Topf einen Deckel gibt, logisch erschließen, dass es für jeden Deckel einen Topf gibt?
4. Wie kann man erklären, dass die beiden Aussagen im alltäglichen Verständnis als gleichbedeutend interpretiert werden?

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