Topologie/Überlagerungen/Abbildungen der universellen Überlagerung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}q\colon {\tilde {X}}\to X$ eine universelle Überlagerung, wobei ${}X$ zusammenhängend und lokal weg-zusammenhängend ist. Es sei weiter ${}x_{0}\in X$ und ${}G=\pi _{1}(X,x_{0})$. Nach obigem Satz

ist die Decktransformationengruppe von ${}q\colon {\tilde {X}}\to X$ isomorph zur Automorphismengruppe der ${}G$-Menge ${}q^{-1}(x_{0})$. Es reicht also zu zeigen, dass die letztere Gruppe, die mal mit ${}\operatorname {Aut} _{G}(q^{-1}(x_{0}))$ bezeichnet werde, isomorph zu ${}G$ ist. Um einen Isomorphismus anzugeben, wähle ${}y\in q^{-1}(x_{0})$. Es sei weiter ${}{\overline {G}}$ die rechte ${}G$-Menge mit unterliegender Menge ${}G$ und Operation

${}{\overline {G}}\times G=G\times G{\xrightarrow {\mu }}G={\overline {G}}\,,$

wobei ${}\mu$ die Multiplikation auf ${}G$ ist. Die Abbildung

${}\psi _{y}\colon {\overline {G}}\to q^{-1}(x_{0})\ \ \ g\mapsto y\cdot g\,$

ist eine Abbildung von ${}G$-Mengen, denn

${}\psi _{y}(g\cdot h)=y\cdot (g\cdot h)=(y\cdot g)\cdot h=\psi _{y}(g)\cdot h\,.$

Des weiteren ist ${}\psi _{y}$ bijektiv: injektiv, weil die Standgruppe ${}G_{y}=q_{\ast }(\pi _{1}({\tilde {X}},y))$ nach obigem Satz

trivial ist, und surjektiv, weil nach obigem Satz

${}\pi _{0}({\tilde {X}})\cong q^{-1}(x_{0})/G$ trivial ist. Es folgt, dass

${}\operatorname {Aut} _{G}(q^{-1}(x_{0}))\cong \operatorname {Aut} _{G}({\overline {G}})\,$

Es sei nun

${}\phi \colon G\to \operatorname {Aut} _{G}({\overline {G}})\ \ \ g\mapsto (h\mapsto g\cdot h)\,,$

dann ist ${}\phi$ ein Gruppenhomomorphismus, weil die Multiplikation in der Gruppe assoziativ ist. Des weiteren ist ${}\phi$ injektiv, denn die Abbildung ${}h\mapsto g\cdot h$ ist die Identität genau dann, wenn ${}g=1_{G}$ gilt. Es sei ${}\xi$ ein ${}G$-Automorphismus von ${}{\overline {G}}$. Dann ist

${}\xi (h)=\xi (1\cdot h)=\xi (1)\cdot h\,\forall \,h\in {\overline {G}}\,,$

was die Surjektivität liefert.

Zur bewiesenen Aussage