Topologie/Überlagerungen/Abbildungen der universellen Überlagerung/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei eine universelle Überlagerung, wobei zusammenhängend und lokal weg-zusammenhängend ist. Sei weiter und . Nach obigem Satz

ist die Decktransformationengruppe von isomorph zur Automorphismengruppe der -Menge . Es reicht also zu zeigen, dass die letztere Gruppe, die mal mit bezeichnet werde, isomorph zu ist. Um einen Isomorphismus anzugeben, wähle . Sei weiter die rechte -Menge mit unterliegender Menge und Operation
wobei die Multiplikation auf ist. Die Abbildung
ist eine Abbildung von -Mengen, denn
Des weiteren ist bijektiv: injektiv, weil die Standgruppe nach obigem Satz

trivial ist, und surjektiv, weil nach obigem Satz

trivial ist. Es folgt, dass
Sei nun
dann ist ein Gruppenhomomorphismus, weil die Multiplikation in der Gruppe assoziativ ist. Des weiteren ist injektiv, denn die Abbildung ist die Identität genau dann, wenn gilt. Sei ein -Automorphismus von . Dann ist

was die Surjektivität liefert.