Topologie/Überlagerungen/Disjunkte Vereinigung/Fakt

Es seien ${}p_{1}\colon E_{1}\to X_{1},p_{1}\colon E_{2}\to X_{2}$ Überlagerungen. Dann ist auch die Abbildung

${}p_{1}\coprod p_{2}\colon E_{1}\coprod E_{2}\to X_{1}\coprod X_{2},\ x\mapsto {\begin{cases}p_{1}(x)&x\in E_{1}\\p_{2}(x)&x\in E_{2}\end{cases}}\,$

eine Überlagerung. Ist ${}X_{1}=X_{2}=X$ so ist auch die Abbildung

${}p_{1}\cup p_{2}\colon E_{1}\coprod E_{2}\to X,\ x\mapsto {\begin{cases}p_{1}(x)&x\in E_{1}\\p_{2}(x)&x\in E_{2}\end{cases}}\,$

eine Überlagerung.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen